Comprendre les quantiles pour mieux analyser les données

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Les quantiles sont, en théorie, des probabilités et en statistiques, des valeurs qui séparent un jeu de données en plusieurs intervalles de probabilités égales. Ce sont des valeurs auxquelles est associée une probabilité p comprise entre 0 et 1 dans le cadre de l’analyse de données. Ainsi, pour une meilleure interprétation de ces données, il est important de bien comprendre le fonctionnement des quantiles. Voici un guide qui explique tout ce qu’il faut savoir sur les quantiles et l’analyse de données.

Que savoir des quantiles ?

Les quantiles sont les points qui séparent la fonction de distribution d’une variable aléatoire en plusieurs intervalles réguliers. Autrement dit, c’est une technique ou un mode de calcul statistique utilisé pour diviser les données d’une distribution. Néanmoins, avant d’utiliser cette technique, il est important que les groupes d’intervalles soient tous égaux. C’est d’ailleurs pour cette raison qu’il existe différentes catégories de quantiles, réparties en fonction du nombre total d’intervalles qu’elles réalisent. Aussi, il faut noter que les quantiles permettent de déterminer de nombreuses valeurs telles que :

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  • La médiane : 0.5 – quantile ;
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  • Les quartiles : 0.25 – quantile, mais aussi 0.75 – quantile ;
  • Le minimum : 0 – quantile ;
  • Le maximum : 1 – quantile.

Aujourd’hui, les quantiles sont très utiles dans l’analyse de données. Comprendre leur fonctionnement permet de réaliser une analyse fiable et rapide de plusieurs données à la fois.

Quelles sont les formules de calcul des quantiles ?

Les quantiles peuvent être calculés de deux manières différentes. La première manière consiste à procéder au calcul grâce à la méthode des paramètres. La seconde permet de se passer de cette méthode. On parle respectivement du calcul paramétrique et non paramétrique :

  • Méthode paramétrique : cette méthode est utilisée dans les distributions dont la forme est connue. En d’autres termes, la distribution est uniforme, exponentielle, normale, etc. On suppose donc avec cette méthode qu’elle est bien connue et que ses paramètres principaux (la variance et la moyenne arithmétique) le sont également ;
  • Méthode non paramétrique : cette méthode est adaptée aux petits échantillons, dont la connaissance de la forme exacte est une tâche bien compliquée. La fonction de distribution est par ricochet inconnu. Néanmoins, elle permet de connaître des valeurs assez similaires avec la méthode paramétrique dès lors que l’échantillon varie. Par conséquent, il n’existe pas une si grande différence entre la méthode paramétrique et celle non paramétrique.

Par ailleurs, lorsque l’analyse de données impose une forme de calcul probabiliste, il faut savoir que l’on fait face à une fonction quantile. L’objectif principal de cette fonction est de déterminer une certaine valeur ayant une probabilité dans la fonction de distribution.

Quels sont les quantiles les plus fréquents ?

Plusieurs types de quantiles sont utilisés en statistique. La majorité d’entre eux sont en général utilisés pour analyser la distribution de données de façon plus détaillée. Aussi, l’autre fonction des quantiles est la séparation des données en intervalles, ce qui permet de choisir le plus faible ou le plus fort. Voici quelques exemples des quantiles les plus utilisés :

Quartile

Le quartile est le quantile le plus couramment utilisé. Lorsqu’on sépare les valeurs en quatre intervalles égaux, il en ressort trois quartiles. Le premier quartile noté Q1 est considéré comme la donnée la plus faible et le dernier Q3 comme la plus forte. En outre, le quartile Q2 est considéré comme la médiane (qui représente une statistique de position séparant en deux la distribution de données). Ainsi, les valeurs des quantiles sont de 0.75 pour la Q3, 0.5 pour la Q2 et enfin 0.25 pour la Q.

Quintile.

Le quintile est un peu similaire au quartile. Néanmoins, il est moins fréquent et sépare en cinq intervalles égaux les données de la distribution, ce qui fait qu’il n’existe que quatre quintiles. Les valeurs de ces différents quintiles sont dans l’intervalle de 0.20 à 0.80 ;

Décile

À ce niveau, les quantiles sont séparés en dix intervalles. Par conséquent, il n’y a que neuf déciles au total. Une fois de plus, il faut noter que les déciles sont moins fréquents que les quartiles et les quintiles. Leurs valeurs sont dans l’intervalle de 0.1 à 0.9 ;

Centiles

Il s’agit d’une variante des quantiles dans laquelle est séparée, en cent parties égales, la distribution des données. Cette méthode peut être utilisée pour les plus gros échantillons. Les valeurs rencontrées vont de l’intervalle de 0.01 à 0.09.

Enfin, il peut arriver que l’analyse de données présente une distribution symétrique par rapport à une certaine valeur. Il faut retenir dans ce cas que la médiane, ainsi que la moyenne, est égale à cette dernière.

Comment interpréter les quantiles dans une distribution de données ?

Il est crucial de savoir interpréter les quantiles dans une distribution de données. Effectivement, ils permettent d’avoir une compréhension plus profonde des caractéristiques de la distribution des données que l’on analyse. Par exemple, le premier quartile Q1 indique que 25 % des valeurs sont en dessous et donc 75 % sont au-dessus. Le troisième quartile Q3 indique à l’inverse que 75 % des valeurs sont en dessous et donc que 25 % se situent au-dessus.

Ces quantiles aident à identifier les valeurs aberrantes ou encore appelées outliers. Dans ce cas-là, il suffit juste de calculer leur écart avec la moyenne pour déterminer si elles sont significativement différentes du reste des observations. Les outliers peuvent aussi être identifiés grâce aux diagrammes box-plot qui représentent graphiquement un ensemble de données par rapport à ses différents quartiles (Q1, Q2 et Q3) ainsi qu’à sa médiane.

Pour aller un peu plus loin dans cette analyse statistique, on peut aussi utiliser deux autres indicateurs : la variance et l’écart-type.

La variance mesure comment s’éloignent les données autour de la moyenne, alors que l’écart-type donne une idée précise sur les distances entre chaque point d’une série statistique et sa moyenne arithmétique. Plus ces indicateurs seront faibles, moins grande sera la dispersion entre les échantillons analysés.

À titre d’exemple concret pour illustrer cela : imaginez qu’un enseignant attribue plusieurs notes à ses élèves pendant toute une année scolaire sans faire attention à aucun critère. À la fin de l’année, il a donc en main une grande quantité de notes qu’il doit examiner pour avoir un bilan sur les performances des élèves durant cette période. Afin d’avancer dans son analyse statistique, le professeur peut utiliser les quantiles pour séparer les notes des élèves par rapport à la moyenne générale du groupe et identifier au passage quelques outliers (les meilleures ou pires notes). En utilisant aussi l’écart-type, il peut mesurer avec précision comment chaque note s’éloigne de manière significative ou non par rapport à cette moyenne.

Comprendre les quantiles est essentiel afin d’analyser correctement une distribution de données. Ils permettent notamment d’identifier rapidement et efficacement divers indicateurs tels que la médiane ou encore les valeurs aberrantes. L’utilisation conjointe avec l’écart-type et la variance permet aussi de mieux appréhender la dispersion globale des données étudiées.

Comment utiliser les quantiles pour détecter les valeurs aberrantes dans les données ?

L’identification des valeurs aberrantes ou outliers est une étape importante dans l’analyse statistique. Les quantiles sont un outil précieux pour repérer ces données anormales. Il existe plusieurs méthodes pour les détecter, mais celle utilisant les quantiles reste la plus simple et efficace.

Pour commencer, il faut calculer les deux premiers quartiles Q1 et Q2 ainsi que le troisième quartile Q3. On calcule la plage interquartile à partir de la formule :
(Q3 • Q1) x 1,5

Toutes les valeurs qui se situent en dehors de cette plage seront considérées comme des outliers. Par exemple, si on obtient un intervalle allant de 10 à 50 avec cette méthode, alors toutes les valeurs inférieures à 10 et supérieures à 50 seront identifiées comme des valeurs aberrantes.

Il faut noter que toutes les valeurs aberrantes ne doivent pas nécessairement être éliminées, elles peuvent aussi fournir certaines informations intéressantes telles qu’une erreur lors du relevé de données ou encore une situation inhabituelle. Dans certains cas, elles peuvent même être considérées comme des valeurs normales en fonction du contexte d’analyse.

Les quantiles sont un outil essentiel pour détecter et identifier les outliers dans une distribution de données. La méthode la plus courante est celle utilisant la plage interquartile qui permet de distinguer facilement ces valeurs aberrantes par rapport au reste des observations. Le diagramme box-plot peut aussi aider à visualiser ces anomalies graphiquement. Toutefois, vous devez identifier les outliers avant toute décision éventuelle de suppression ou d’utilisation en fonction du contexte analytique précis.

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